[REDIFF] Où l'on va parler d'un outil mathématique fabuleux, la transformée de Fourier, qui a révolutionné à la fois les mathématiques ainsi que le monde moderne par certaines de ses applications.
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Ce thread va se décomposer en plusieurs parties, et pourra évoluer au cours du temps si l'envie m'en prend. Commençons par la base : les séries de Fourier.
C'est un outil, pensé par Euler et Bernoulli fin 18ème, théorisé proprement par Fourier en 1822, et rendu "rigoureux" par Riemann en 1867, introduit pour résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la physique.
Ces illustres personnes souhaitaient résoudre initialement les équations des ondes (Euler) et de la chaleur (Fourier) en en cherchant des solutions explicites. Les séries de Fourier aidaient car elles permettaient la séparation de variable nécessaire pour obtenir ces solutions.
Et donc quand on parle de développement en série de Fourier, on cherche en fait à représenter un objet compliqué - et surtout non dénombrable - une fonction, par un objet manipulable plus simplement, un vecteur (éventuellement infini, mais dénombrable).
Concrètement, les polynômes sont un bon moyen pour cela, car une fois la base choisie, ceux-ci peuvent être représentés uniquement par une suite de nombres. Fourier avaient fait le choix de polynômes trigonométriques (à coefficients complexes), avec un grand succès
On doit à Dirichlet, aux alentours de 1850, un résultat majeur, à savoir que toute fonction admettant des dérivées, sauf en un nombre fini de points, peut être obtenue comme limite d'une suite de polynômes trigonométriques, sauf en un nombre fini de points...
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C'est un outil, pensé par Euler et Bernoulli fin 18ème, théorisé proprement par Fourier en 1822, et rendu "rigoureux" par Riemann en 1867, introduit pour résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la physique.