Sur le blog d'Antoine Chambert-Loir (le 12/08/24), on trouve une interprétation combinatoire de cette identité. Antoine mentionne aussi une preuve plus classique par récurrence. Je me demande s'il y a d'autres "visions" de ce résultat.

https://freedommathdance.blogspot.com/2024/08/combinatorics-of-partitions.html
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